Metrické prostory a Banachova věta o pevném bodě

Téma již má řešitele.
Řešitel
Andrej Bružeňák - Gymnázium Brno, třída Kapitána Jaroše, příspěvková organizace
Instituce
Masarykova univerzita
Lektoři
Vít Jelínek
Podpora
JCMM podpořila toto SOČ téma částkou 1 000 Kč na materiál a částkou 10 000 Kč na honorář školitele.

Metrické prostory poskytují abstraktní pohled na koncept vzdálenosti a patří k základním stavebním kamenům matematiky. Nejznámější výskyty metrických prostorů patrně patří do matematické analýzy -- objevují se např. při zavádění diferenciálního počtu funkcí více proměnných nebo ve funkcionální analýze. Mezi méně známé výskyty může patřit například Hammingova vzdálenost slov využívaná v teorii kódování. V rámci teorie metrických prostorů patří Banachova věta o pevném bodě mezi významné výsledky. Mezi její nejznámější aplikace patří například důkaz existence a jednoznačnosti jistého druhu obyčejných diferenciálních rovnic. Velká výhoda výsledků dokázaných pomocí Banachovy věty o pevném bodě je, že tyto důkazy jsou konstruktivní. Banachova věta totiž poskytuje jednoznačných návod pro hledání pevného bodu vhodného zobrazení, čehož bývá využíváno v praktických aplikacích.

Prvním cílem práce bude vyložit základy teorie metrických prostorů. V rámci této teorie by student měl dojít až k důkazu Banachovy věty o pevném bodě. Druhým cílem bude popsat (a případně i najít) některé méně tradiční aplikace této věty. Vhodným kandidátem by mohla být například Jacobiho metoda pro řešení soustavy lineárních rovnic nebo popis některých fraktálů v rovině jako pevných bodů.